Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer 1

（1）k₁·k₂＝.＝＝－（2）MN长的最小值是4.
（3）为直径的圆恒过定点（或点）

试题分析：解：（1）由题设可知，点A(0，1)，B(0，－1).
令P(x₀，y₀)，则由题设可知x₀≠0.
所以，直线AP的斜率k₁＝，PB的斜率为k₂＝.           2分
又点P在椭圆上，所以（x₀≠0），从而有
k₁·k₂＝.＝＝－.                             4分
（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k₁(x－0)，直线PB的方程为
y－(－1)＝k₂(x－0).
由，解得；
由，解得.
所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点.
7分
于是，又k₁·k₂＝－，所以
≥2＝4，
等号成立的条件是，解得.
故线段MN长的最小值是4.                                      10分
（3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则＝0，故有.
又，所以以MN为直径的圆的方程为
.                           13分
令，解得或.
所以，以为直径的圆恒过定点（或点）．16分
注：写出一点的坐标即可得分.
点评:研究直线与圆的位置关系，以及直线与椭圆的位置关系，并结合向量的知识来处理，圆过定点的问题，利用数量积为零，属于基础题。