Question

正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y²=4x上，一条对角线BD在直线y=-

1

2

x+2上．
（Ⅰ）求AC所在的直线方程；
（Ⅱ）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据正方形的性质可知AC⊥BD，进而可知AC斜率是2，设直线AC方程为y=2x+b，代入抛物线方程，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而求得y₁+y₂，则AC的中点坐标可得，代入直线x+2y-4=0中求得b，进而求得AC所在的直线方程；
（Ⅱ）求出x₁+x₂和x₁x₂的值，求得（x₁-x₂）²和（y₁-y₂）²，从而求得AC的长度，即可求正方形ABCD的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知：AC⊥BD．
设AC所在的直线方程为y=2x+b，
代入抛物线方程得4x²+4bx+b²=4x，即4x²+（4b-4）x+b²=0
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1-b，
∵y=2x+b，
∴y₁+y₂=2x₁+b+2x₂+b=2（1-b）+2b=2，
∵AC中点（

1-b

2

，1）在BD上，
∴1=-

1

2

•

1-b

2

+2，
∴b=-3，
∴AC所在的直线方程为2x-y-3=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知4x²-16x+9=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

9

4

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=7，
（y₁-y₂）²=[2（x₁-x₂）]²=28，
∴AC=

7+28

=

35

，
∴正方形ABCD的面积为

1

2

×35=

35

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．弦长问题、最值问题、对称问题等考查了学生综合分析问题的能力．