Question

已知函数（a≠0）满足，为偶函数，且x＝－2是函数的一个零点．又（＞0）．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x 的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）令，求的单调区间．

Answer 1

（1）函数的解析式为； （2）实数的取值范围为；
（3）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为和；
单调递增区间为和．    

试题分析：（1）由得，又为偶函数，是函数的一个零点，得出关于的方程，即可求函数的解析式；
（2）在上有解，等价于在上有解，可求实数的取值范围；
（3）先求出的解析式，再分、两种情况求出的单调区间．
（1）由得                         1分
∵即
又∵为偶函数　　∴　①                    2分
∵是函数的一个零点　∴　∴　②
解①②得a＝1，b＝－2
∴                                       4分
（2）在上有解，即在上有解．
∴
∵在上单调递增
∴实数的取值范围为                                8分
（3）即
                          9分
①当时，的对称轴为
∵m>0 ∴ 总成立　
∴在单调递减，在上单调递增．    11分
②当时，的对称轴为
若即，在单调递减         13分
若即，在单调递减，在上单调递增．   15分
综上，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为和；单调递增区间为和．                                              16分