Question

设(是自然对数的底数，)，且．
（1）求实数的值，并求函数的单调区间；
（2）设，对任意，恒有成立．求实数的取值范围；
（3）若正实数满足，，试证明：；并进一步判断：当正实数满足，且是互不相等的实数时，不等式是否仍然成立．

Answer 1

（1）参考解析;（2）;（3）成立,参考解析

试题分析：（1）由(是自然对数的底数，)，且,即可求出.再根据导函数的值即可求出单调区间.
（2）对任意，恒有成立,通过去分母,整理成两个函数的单调性的问题即，则在上单调递增,又,再通过求导即可得到m的取值范围.
（3）若正实数满足，，则.通过代入函数关系式消元再用基本不等式即可得到结论.当，且是互不相等的实数时，不等式是否仍然成立.有数学归纳法证明,当n=k+1时利用转化为k项的形式.再通过构造即可得到结论.
（1）∵，，故．           1分
令得；令得.      3分
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．      4分
（2）由变形得：．     5分
令函数，则在上单调递增.           6分
即在上恒成立.           7分
而（当且仅当时取“=”）
所以．                             9分
（3）证明：不妨设，由得：






其中，故上式的符号由因式“”的符号确定．
令，则函数．
，其中，得，故．即在上单调递减，且．所以．
从而有成立．
该不等式能更进一步推广：
已知，是互不相等的实数，若正实数满足，则．
下面用数学归纳法加以证明：
i）当时，由（2）证明可知上述不等式成立；
ii）假设当时，上述不等式成立．即有：．
则当时，由得：，于是有：
．
在该不等式的两边同时乘以正数可得：．
在此不等式的两边同时加上又可得：．
该不等式的左边再利用i）的结论可得：．整理即得：．
所以，当时，上述不等式仍然成立．
综上，对上述不等式都成立．                  14分