题目内容
8．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为$\frac{1}{7}$．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）袋中白色棋子有几枚？
（2）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）．
分析 （1）设白球个数为x，利用排列组合计算出用x表示的“任取2枚棋子都是白色的概率”，构造方程，解之．
（2）确定X的可能取值为1，2，3，4，5，根据题意分别计算出X取各个值的概率，写出分布列，计算期望．
解答 解：（1）设袋中有x枚白色棋子（0＜x＜7），
则从袋中x枚白色棋子中任取2枚，共有${C}_{x}^{2}$种，
从袋中7枚围棋子中任取2枚，共有${C}_{7}^{2}$种，
记事件A表示：“从袋中任取2枚棋子，都是白色的棋子”，
P（A）=$\frac{{C}_{x}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}x（x-1）}{21}$=$\frac{x（x-1）}{42}$又 P（A）=$\frac{1}{7}$
∴$\frac{x（x-1）}{42}=\frac{1}{7}$
解方程的x=3或x=-2
∵0＜x＜7
∴袋中白色棋子有3枚．
（2）由（1），X可能取值为1，2，3，4，5
X=1，表示甲第一次摸，取出白色棋子，
故P（X=1）=$\frac{3}{7}$；
X=2，表示第一次取出棋子是黑色，第二次取出棋子是白色，
故P（X=2）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$=$\frac{2}{7}$；
X=3，表示前二次都是取出黑色，甲第三次取出白色，
故P（X=3）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{35}$；
X=4，表示前三次都是取出黑色，甲第四次取出白色，
故P（X=4）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$×$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{35}$；
X=5，表示前四次都是取出黑色，甲第五次取出白色，
故P（X=4）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$×$\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{3}$=$\frac{1}{35}$；
∴随机变量X的分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{3}{7}$ | $\frac{2}{7}$ | $\frac{6}{35}$ | $\frac{3}{35}$ | $\frac{1}{35}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率计算，考查利用概率与统计的知识解决实际问题．属于中档题．
| A． | {-1，0} | B． | {0，1，3} | C． | {-1，1} | D． | {-1，0，1} |
| A． | $\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\sqrt{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}$ | C． | $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | i | D． | 2 |