Question

13．已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于点P，且点P在抛物线y²=4cx上，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．由题意可知FF′为圆x²+y²=c²的直径，可得PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{b}{a}$，|FF′|=2c，因此$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{b}{a}③}\end{array}\right.$，联立解出即可得出．

解答 解：如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．
由题意可知FF′为圆x²+y²=c²的直径，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{b}{a}$，|FF′|=2c，
满足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{b}{a}③}\end{array}\right.$，
将①代入②得x²+4cx-c²=0，
则x=-2c±$\sqrt{5}$c，
即x=（$\sqrt{5}$-2）c，（负值舍去）
代入③，即y=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，再将y代入①得，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}-1）^{2}}$=e²-1
即e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
∴e=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$
故选：$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$．

点评 本题考查了双曲线抛物线与圆的标准方程及其性质、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．