题目内容

17．平面内有$\overrightarrow{o{p_1}}+\overrightarrow{o{p_2}}+\overrightarrow{o{p_3}}=\overrightarrow 0$，且$|\overrightarrow{o{p_1}}|=|\overrightarrow{o{p_2}}|=|\overrightarrow{o{p_3}}|=1$，则△P1P2P3的形状是等边三角形．

分析 设出坐标，根据坐标运算得到P1P2=P1P3=P2P3，即可判断三角形的形状．

解答 解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
∵$|\overrightarrow{o{p_1}}|=|\overrightarrow{o{p_2}}|=|\overrightarrow{o{p_3}}|=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}{+y}_{1}^{2}=1}\\{{x}_{2}^{2}{+y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.}\\{{x}_{3}^{2}{+y}_{3}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{o{p_1}}+\overrightarrow{o{p_2}}+\overrightarrow{o{p_3}}=\overrightarrow 0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0}\\{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=-{y}_{3}}\end{array}\right.$，
∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=x32+y32，
∴2x1 x2+2y1 y2=-1，
∴p1p2=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
P1P3=P2P3=$\sqrt{3}$，
∴P1P2=P1P3=P2P3，
∴△P1P2P3是等边三角形．
故答案为：等边三角形．

点评 本题主要考查了向量的运算，三角形形状的判断，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．

练习册系列答案
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78166572080263140702436997280198
32049234493582003623486969387481
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78166572080263140702436911280598
32049234493582003623486969387481
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