题目内容

10．设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=nan+5n
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）已知S3=21，求数列{an}的通项公式．

分析 （Ⅰ）由2Sn=n•an+5n，得：2an+1=（n+1）an+1-nan+5（n-1）an+1-nan+5=0，从而nan+2-2nan+1+nan=0，由此能证明{an}为等差数列．
（Ⅱ）由等差数列项公式求出a2=7，由n=1，得a1=5，从而求出{an}的公差，由此能求出数列{an}的通项公式．

解答 证明：（Ⅰ）2Sn=n•an+5n，①
以n+1代替①式中的n，得：2Sn+1=（n+1）an+1+5（n+1），②
②-①，得：2an+1=（n+1）an+1-nan+5（n-1）an+1-nan+5=0，③
以n+1代换③中的n 得：nan+2-（n+1）an+1+5=0，④
④-③，得：nan+2-2nan+1+nan=0，
即an+2+an=2an+1，
∴{an}为等差数列．
解：（Ⅱ）∵S3=3a2=21，∴a2=7，
①式中，n=1，得a1=5，
∴{an}的公差d=a2-a1=2，
∴an=2n+3．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

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