Question

如图1，在直角梯形ABCD中，ABCE是边长为2的正方形，且AD=2+

2

，如图2沿CE将△CDE折起，使得AD=ED．
（I）求证：平面DAB⊥平面DEC；
（II）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C-ED-G的余弦值为

1

3

？说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中ABCE是边长为2的正方形，结合线面垂直的判定定理，可得CE⊥平面ADE，进而CE⊥AD，再由勾股定理可得AD⊥ED，再由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可得平面DAB⊥平面DEC；
（II）取AE的中点O，BC的中点F，连结OD，OF，可证得DO⊥平面ABCE，进而求出OD=1，以O为原点，直线OA，OF，OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系利用向量法，可求出满足条件的G点坐标．

解答：证明：（Ⅰ）∵ABCE是边长为2的正方形，
∴CE⊥AE，CE⊥DE
又∵沿CE将△CDE折起后，AE∩DE=E，AE，DE?平面ADE
∴CE⊥平面ADE
又∵AD?平面ADE
∴CE⊥AD…（3分）
又AD=2+

2

，AE=2
∴AD=ED=

2

由勾股定理得AD⊥ED…（5分）
又∵CE∩ED=E，CE，ED?平面DEC
∴AD⊥平面DEC
又∵AD?平面DAB
所以平面DAB⊥平面DEC…（7分）
（Ⅱ） 如图，取AE的中点O，BC的中点F，连结OD，OF，
∵DA=DE，
∴DO⊥AE
∵CE⊥平面ADE，CE?底面ABCE
∴平面DAE⊥底面ABCE
又平面DAE∩平面ABCE=AE，
∴DO⊥平面ABCE，
而O，F分别为AE，BC的中点，
∴OF∥AB，
又ABCE是正方形，故OF⊥AE
又DA⊥DE
∴OD=1．
以O为原点，直线OA，OF，OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…（9分）
则有A（1，0，0），E（-1，0，0），D（0，0，1）．
若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

1

3

，连结PG，DG
设G（1，a，0）（0≤a≤2）
由（Ⅰ）知平面DCE的法向量为

DA

=(1，0，-1)．…（10分）
设平面GED的法向量为

n

=(x，y，z)．
∵

ED

=(1，0，1)，

GE

=(-2，-a，0)，
∴

x+0•y+z=0 -2•x-a•y+0•z=0

，
令x=1，则y=-

2

a

，z=-1，故

n

=(1，-

2

a

，-1)…（12分）
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • DA

| n || DA |

=

2

2 × 2+ 4 a2

=

2 2+ 4 a2

=

1

3

，
解得，a=

1

2

…（14分）
所以，在线段AB上存在点G(1，

1

2

，0)，使得二面角C-PD-G的余弦值为

1

3

…（15分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，解答（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转换，解答（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．