如图1.在直角梯形ABCD中.AB∥CD.∠A=90°.AB=2.CD=6.AD=3.E为CD上一点.且DE=4.过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF.使∠PED=60°.如图2．(Ⅰ)求证:PE⊥平面ADP,(Ⅱ)求异面直线BD与PF所成角的余弦值,(Ⅲ)在线段PF上是否存在一点M.使DM与平在ADP所成的角为30°?若存在.确定点M的位置,若不存在.请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E为CD上一点，且DE=4，过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如图2．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求异面直线BD与PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PF上是否存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

分析：（Ⅰ）由题设条件及图形知，本题可采用两种方法求解，
法一，证明AD⊥PE，PE⊥PD，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
法二，用向量法，建立如图的坐标系，根据题设条件写出各点的坐标，易得直线PE的方向向量与面内两直线AD，PD的方向向量，用数量积证明即可；
（Ⅱ）本题用向量法比较方便，借助（I）中的坐标系，易得两异面直线的方向向量，用数量积求两异面直线的夹角的余弦值或其补角的余弦值；
（Ⅲ）先假定存在，设出点M的坐标，由线面垂直的条件寻求满足题意的条件，根据DM与平在ADP所成的角为30°，建立方程求参数，为了解答本题，需要求出平面的法向量与直线DM的方向向量．然后利用相关规则求夹角的余弦，令其值等于sin30°，建立方程求参数，若能求出符合条件的参数，则说明存在，否则，说明不存在．

解答：

解：（Ⅰ）解法一：∵DE=4，PE=2，∠PED=60°，由弦定理得PD=2

，
∵PD²+PE²=16=DE²，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直线AD，PD在平面APD内，且相交于D，∴PE⊥平面APD．
解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

），E（0，4，0）
∴

=（3，0，0），

=（0，3，

），

=（0，-1，

）．∵

•

=0，

•

=0，∴

⊥

，

⊥

∴DA⊥EP，DP⊥EP，∵DA，DP是平面ADP内的相交直线，∴PE⊥平面APD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PDE，∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

），E（0，4，0），F（

，4，0），B（3，2，0），∴

=（3，2，0），

=（

，1，-

）
∴cos＜

，

＞ =

•

|×|

设BD与PF所成的角为θ，则θ=＜

，