Question

（2013•韶关二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=

1

2

AB=2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：DA⊥BC；
（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；
（3）求点A到平面BCD的距离．

Answer 1

分析：（1）图1中，取AB得中点M，连接CM，则四边形ADCM为正方形，MB=2．可得CM⊥AB，CM=2，利用勾股定理得CB=

CM2+MB2

=2

2

．从而AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC．已知平面ADC⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ADC，进而得到结论；
（2）取CD的中点F，连接EF，BF．利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（3）利用（1）及已知可得AD⊥平面BCD．因此AD就是所求．

解答：解：（1）在图1中，取AB得中点M，连接CM，则四边形ADCM为正方形，MB=2．
∴CM⊥AB，CM=2，∴CB=

CM2+MB2

=2

2

．
又AC=

AD2+DC2

=2

2

．
∴AC=BC=2

2

，
从而AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵平面ADC⊥平面ABC，面ADC∩面ABC=AC，BC?面ABC．
∴BC⊥平面ADC又AD?面ADC．
∴BC⊥DA．
（2）取CD的中点F，连接EF，BF．
在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴AD∥EFEF⊆平面EFBAD?平面EFB，
∴AD∥平面EFB．
（3）由（1）可得：BC⊥AD，又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
∴AD就是点A到平面BCD的距离，即为AD=2．

点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三角形的中位线定理、勾股定理、正方形的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力和空间想象能力．