题目内容

(2013•肇庆二模)如图1,在直角梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°,AE⊥BD.将△ABD沿对角线BD折起(图2),记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD.
(1)求三棱锥P-BCD的体积;
(2)求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小.
分析:(1)由题意证明PE为三棱锥P-BCD的高,由原图形可得三角形BDC为等腰直角三角形,求出其面积,则三棱锥P-BCD的体积可求;
(2)由(1)的求解过程知道PE⊥BD,DC⊥BD,过E作DC的平行线后以E点为坐标原点建立空间直角坐标系,求出平面PBC与平面PCD的法向量,由平面法向量求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小.
解答:解:(1)∵平面PBD⊥平面BCD,PE⊥BD,PE?平面PBD,平面PBD∩平面BCD=BD,
∴PE⊥平面BCD,
即PE是三棱锥P-BCD的高,
又∵AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°,
∴∠ABD=∠CBD=45°,∠BDC=90°,CD=BD=
AB2+AD2
=
2

PE=AE=ABsin45o=
2
2
S△BCD=
1
2
BD•CD=
1
2
×
2
×
2
=1

∴三棱锥P-BCD的体积V=
1
3
S△BCD•PE=
1
3
×1×
2
2
=
2
6

(2)过E作直线EG∥DC,交BC于G,则EG⊥BD,EG⊥PE
如图建立空间直角坐标系,

P(0,0,
2
2
),B(
2
2
,0,0),C(-
2
2
2
,0)
D(-
2
2
,0,0)
.
PB
=(
2
2
,0,-
2
2
),
PC
=(-
2
2
2
,-
2
2
)
PD
=(-
2
2
,0,-
2
2
)

设平面PBC的法向量为
n
=(x,y,z),
n
PB
=0
n
PC
=0
,即
2
2
x-
2
2
z=0
-
2
2
x+
2
y-
2
2
z=0
,化简得
z=x
x-2y+z=0

令x=1,得z=1,y=1,所以
n
=(1,1,1)是平面PBC的一个法向量.
再设
m
=(x1y1z1)

m
PC
=0
m
PD
=0
,即
-
2
2
x1+
2
y1-
2
2
z1=0
-
2
2
x1-
2
2
z1=0
,化简得
x1-2y1+z1=0
x1+z1=0

令x1=1,得y1=0,z1=-1,所以平面PCD的一个法向量为
m
=(1,0,-1).
设向量
n
m
所成角为θ,则cosθ=|
n
m
|
n
|•|
m
|
|=
0
3
2
=0

∴平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为90°.
点评:本题考查了棱锥的体积的求法,考查了二面角的平面角及求法,综合考查了学生的空间想象能力和思维能力,解答此题时一定要注意折叠前后的变量与不变量,此题是中档题.
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