题目内容
如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.

分析:(Ⅰ)要证BC⊥平面ACD,只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角A-CD-M的余弦值.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角A-CD-M的余弦值.
解答:
解:(Ⅰ)在图1中,可得AC=BC=2
,从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
取AC中点O连接DO,则DO⊥AC,又面ADC⊥面ABC,
面ADC∩面ABC=AC,DO?面ACD,从而OD⊥平面ABC,(4分)
∴OD⊥BC
又AC⊥BC,AC∩OD=O,
∴BC⊥平面ACD(6分)
另解:在图1中,可得AC=BC=2
,
从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC,面ADE∩面ABC=AC,BC?面ABC,从而BC⊥平面ACD
(Ⅱ)建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,
则M(0,
,0),C(-
,0,0),
D(0,0,
)
=(
,
,0),
=(
,0,
)(8分)
设
=(x,y,z)为面CDM的法向量,
则
即
,解得
令x=-1,可得
=(-1,1,1)
又
=(0,1,0)为面ACD的一个法向量
∴cos<
,
>=
=
=
∴二面角A-CD-M的余弦值为
.(12分)

2 |
取AC中点O连接DO,则DO⊥AC,又面ADC⊥面ABC,
面ADC∩面ABC=AC,DO?面ACD,从而OD⊥平面ABC,(4分)
∴OD⊥BC
又AC⊥BC,AC∩OD=O,
∴BC⊥平面ACD(6分)
另解:在图1中,可得AC=BC=2
2 |
从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC,面ADE∩面ABC=AC,BC?面ABC,从而BC⊥平面ACD
(Ⅱ)建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,
则M(0,
2 |
2 |
D(0,0,
2 |
CM |
2 |
2 |
CD |
2 |
2 |
设
n1 |
则
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令x=-1,可得
n1 |
又
n2 |
∴cos<
n1 |
n2 |
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1 | ||
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| ||
3 |
∴二面角A-CD-M的余弦值为
| ||
3 |
点评:本题考查直线与平面的存在的判定,二面角的求法,考查逻辑思维能力和空间想象能力,是中档题.

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