题目内容

如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.
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分析:(Ⅰ)要证BC⊥平面ACD,只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角A-CD-M的余弦值.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)在图1中,可得AC=BC=2
2
,从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
取AC中点O连接DO,则DO⊥AC,又面ADC⊥面ABC,
面ADC∩面ABC=AC,DO?面ACD,从而OD⊥平面ABC,(4分)
∴OD⊥BC
又AC⊥BC,AC∩OD=O,
∴BC⊥平面ACD(6分)
另解:在图1中,可得AC=BC=2
2

从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC,面ADE∩面ABC=AC,BC?面ABC,从而BC⊥平面ACD
(Ⅱ)建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,
M(0,
2
,0)
C(-
2
,0,0)

D(0,0,
2
)
CM
=(
2
2
,0)

CD
=(
2
,0,
2
)
(8分)
n1
=(x,y,z)
为面CDM的法向量,
n1
CM
=0
n1
CD
=0
2
x+
2
y=0
2
x+
2
z=0
,解得
y=-x
z=-x

令x=-1,可得
n1
=(-1,1,1)

n2
=(0,1,0)
为面ACD的一个法向量
cos<
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
1
3
=
3
3

∴二面角A-CD-M的余弦值为
3
3
.(12分)
点评:本题考查直线与平面的存在的判定,二面角的求法,考查逻辑思维能力和空间想象能力,是中档题.
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