Question

1．已知关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求实数m的值；
（2）求$\frac{sinθ}{1-cotθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数之间的关系得到sinθ+cosθ，sinθcosθ，然后利用三角公式进行化简即可．
（2）利用（1）及同角三角函数基本关系式即可化简得解．

解答 解：（1）因为方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{m}{2}$，
因为（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
所以（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）2=1+2×$\frac{m}{2}$=1+m，
即1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1+m，
所以m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）$\frac{sinθ}{1-cotθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{sinθ}{1-\frac{cosθ}{sinθ}}$+$\frac{cosθ}{1-\frac{sinθ}{cosθ}}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$-$\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$
=$\frac{（sinθ-cosθ）（sinθ+cosθ）}{sinθ-cosθ}$=sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数根与系数之间的关系，以及三角函数的公式的应用，综合性较强．