Question

8．函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?a∈（-1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）-b＜0，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；
（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=-$\frac{1}{2}$ax²-2x+lnx在（-1，+∞）上是减函数，可知b≥$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，构造辅助函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x．求导f′（x）=-$\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$，
∴x∈（0，$\frac{1}{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递增区间（0，$\frac{1}{3}$），单调递减区间为（$\frac{1}{3}$，+∞）；..…（6分）
（Ⅱ）由?a∈（-1，+∞），lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）
由函数h（a）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x=-$\frac{1}{2}$ax²-2x+lnx在（-1，+∞）上是减函数，
∴h（a）＜h（-1）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，
∴b≥$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，..…（8分）
由?x∈（1，e），使不等式b≥$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx成立，
∴$b≥{（\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx）_{min}}$．…（10分）
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，求导g′（x）=x-2-$\frac{1}{x}$≥0，
∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，
于是$g{（x）_{min}}=g（1）=-\frac{3}{2}$，
故$b＞-\frac{3}{2}$，即b的取值范围是$（-\frac{3}{2}，+∞）$…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查利用函数的导数研究函数单调性及极值，考查存在性问题的研究，考查转化思想，属于中档题．