Question

13．已知O是锐角△ABC的外心，$tanA=\frac{1}{2}$．若$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=2m•\overrightarrow{AO}$，则实数m=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 设外接圆的半径为R，从而化简可得$\frac{cosB}{sinC}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{cosC}{sinB}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$=2m$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OA}$，从而可得-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，从而解得．

解答 解：设外接圆的半径为R，
∵$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=2m•\overrightarrow{AO}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\frac{cosC}{sinB}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=2m$\overrightarrow{AO}$，
∵∠AOB=2∠C，∠AOC=2∠B，
∴$\frac{cosB}{sinC}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{cosC}{sinB}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$=2m$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OA}$，
即$\frac{cosB}{sinC}$•R²•（cos2C-1）+$\frac{cosC}{sinB}$•R²•（cos2B-1）=-2mR²，
即-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，
故sinCcosB+sinBcosC=m，
故sin（B+C）=m，
故m=sinA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了正弦定理的应用，同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．