Question

18．已知函数f（x）=xlnx
（1）当x≥1时，若f（x）≥a（x-1）恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：当n≥2且n∈N^*时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＜lnn$．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为xlnx≥a（x-1），从而讨论x=1与x＞1时不等式成立的条件即可；
（2）根据lnx＞$\frac{x-1}{x}$（x＞1），令x=$\frac{n}{n-1}$（n≥2且n∈N^*），即ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，通过赋值叠加即可．

解答 解：（1）f（x）≥a（x-1）（x≥1）可化为
xlnx≥a（x-1），
当x=1时，0≥0，显然成立；
当x＞1时，不等式可化为a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-1，h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
故h（x）=x-lnx-1在（1，+∞）上是增函数，
故x-lnx-1＞1-0-1=0，
故g′（x）=$\frac{x-lnx-1}{{（x-1）}^{2}}$＞0；
故g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上是增函数，且 $\underset{lim}{x{→1}^{+}}$$\frac{xlnx}{x-1}$=1，
故a≤1；
（2）当a=1时：lnx＞$\frac{x-1}{x}$（x＞1），
令x=$\frac{n}{n-1}$（n≥2且n∈N^*），即ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，
得：lnn-ln（n-1）＞$\frac{1}{n}$，
∴ln（n-1）-ln（n-2）＞$\frac{1}{n-1}$，
ln（n-2）-ln（n-3）＞$\frac{1}{n-2}$，
…，
ln2-ln1＞$\frac{1}{2}$，
上述各式相加得：lnn＞$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$+…+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$，
即当n≥2且n∈N^*时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＜lnn$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了极限的求法．