Question

6．正六棱锥的底面周长为24，斜高SH与高SO所成的角为30°．
求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长．

Answer 1

分析 （1）由已知得正六棱锥的底面边长为4，取BC中点H，连结SH，则SH⊥BC，设O是正六棱锥S-ABCDEF的中心，连结SO，则∠OSH=30°，∠SHO=60°，由此能求出棱锥的高SO．
（2）由斜高SH=2OH，能求出结果．
（3）由SO=6，OB=BC=4，利用勾股定理能求出侧棱长．

解答 解：（1）∵正六棱锥的底面周长为24，∴正六棱锥的底面边长为4，
在正六棱锥S-ABCDEF中，取BC中点H，连结SH，则SH⊥BC，
设O是正六棱锥S-ABCDEF的中心，连结SO，则SO⊥底面ABCDEF，
∴OH⊥BC，∠SHO是侧面与底面所成角的二面角，
∵斜高SH与高SO所成的角为30°，∴∠OSH=30°，∠SHO=60°，
在Rt△SOH中，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}BC=2\sqrt{3}$，
∴棱锥的高SO=OH•tan60°=2$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=6．
（2）在Rt△SOH中，斜高SH=2OH=4$\sqrt{3}$．
（3）在Rt△SOH中，SO=6，OB=BC=4，
∴侧棱长SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{36+16}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查棱锥的高、斜高、侧棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和勾股定理的合理运用．