题目内容
如图所示，直角坐标系xOy建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD是以O为圆心，OD为半径的圆弧，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，
），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为
（Ⅰ）求函数y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园OEPF，其中折线FPE为水上赛艇线路，问点P落在圆弧MD上何处时赛艇线路最长？
【答案】分析：（I）函数y=f（x）的相邻两条对称轴间距离，求出函数周期，得到ω，函数的图象的一个对称中心，求出φ，然后求出函数y=f（x）的解析式；
（II）在
中令x=4，得OD，再连接OP，设赛艇线路长为L．利用三角函数表示出来L，再利用三角函数的性质求得L 有最大值即可解决问题．
解答：解：（I）对于函数y=Asin（ωx+φ），
由图象知，
，
…（3分）
将
代入到
中，得
，又
，
所以
，故
…（7分）
（II）在
中令x=4，得
∴
…（9分）
连接OP，设∠EOP=θ，
，则
设赛艇线路长为L．
则
=
…（12分）
当
时L 有最大值
，此时
．…（14分）
所以当P 点的坐标为
时赛艇线路最长．′…（15分）
点评：题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，注意周期的应用，两角和的余弦公式的应用，同时注意角的范围，以及角的变换的技巧，是解题的关键，考查计算能力．
（II）在
中令x=4，得OD，再连接OP，设赛艇线路长为L．利用三角函数表示出来L，再利用三角函数的性质求得L 有最大值即可解决问题．解答：解：（I）对于函数y=Asin（ωx+φ），
由图象知，
， …（3分）将
代入到 中，得，又，所以
，故 …（7分）（II）在
中令x=4，得 ∴
…（9分）连接OP，设∠EOP=θ，
，则 设赛艇线路长为L．
则
= …（12分）当
时L 有最大值，此时．…（14分）所以当P 点的坐标为
时赛艇线路最长．′…（15分）点评：题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，注意周期的应用，两角和的余弦公式的应用，同时注意角的范围，以及角的变换的技巧，是解题的关键，考查计算能力．
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