Question

在如图所示的直角坐标系中，B为单位圆在第一象限内圆弧上的动点，A（1，0），设∠AOB=x(0＜x＜

π

2

)，过B作直线BC∥OA，并交直线y=-

3

3

x于点C．
（1）求点C的坐标 （用含x的式子表示）；
（2）试求△ABC的面积的最大值，并求出相应x值．

Answer 1

分析：（1）确定B的坐标，利用过B作直线BC∥OA，并交直线y=-

3

3

x于点C，可得点C的坐标；
（2）表示出△ABC的面积，利用辅助角公式化简，结合角的范围，即可得到结论．

解答：解：（1）根据三角函数的定义，可知B（cosx，sinx）
∵BC∥OA
∴C点纵坐标为y_C=sinx
将y_C代入直线y=-

3

3

x，得：x_C=-

3

sinx
∴点C（-

3

sinx，sinx）；
（2）∵BC∥OA，
∴A到BC的距离为sinx
∵|BC|=cosx+

3

sinx
∴S_△ABC=

1

2

|BC|sinx=

1

2

（cosx+

3

sinx）sinx=

1

2

sin（2x-

π

3

）+

3

4

∵0＜x＜

π

2

∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

∴当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，S_△ABC取得最大值为

1

2

+

3

4

．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．