Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面，，，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且//平面.

（1）求的值；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）求的值，关键是找在的位置，注意到平面，有线面平行的性质，可得，由已知为中点，由平面几何知识可得为中点，从而可得的值；（2）求证：，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于底面，所以，，又，这样建立空间坐标比较简单，故以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，取，可写出个点坐标，从而得向量的坐标，证即可；（3）求二面角的余弦值，由题意可得向量是平面的一个法向量，只需求出平面的一个法向量，可设平面的法向量，利用，即可求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值．

（1）因为平面

又平面，平面平面，

所以. 3分

因为为中点，且侧面为平行四边形

所以为中点，所以. 4分

（2）因为底面，

所以，， 5分

又，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得 6分

因为分别是的中点，

所以. 7分

. 8分

所以，

所以. 9分

（3）设平面的法向量，则

即 10分

令，则，所以. 11分

由已知可得平面的法向量 11分

所以 13分

由题意知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为. 14分