Question

【题目】已知函数，函数的导函数为．

⑴ 若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；

⑵ 若，求证：当时， 恒成立；

⑶ 若当时， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析：（1）由直线与曲线恒相切于同一定点转化为曲线必恒过定点，即可求出切线的方程（2）构造，研究的单调性，从而证明当时， 恒成立（3）按照题目意思构造，求导后进行分类讨论，当时、当时和当时三种情况，求得实数的取值范围

解析：⑴ 因为直线与曲线恒相切于同一定点，

所以曲线必恒过定点，

由，令，得，

故得曲线恒过的定点为.

因为，所以切线的斜率，

故切线的方程为，即.

⑵因为，

所以令，

，设，

， 在上单调递增，

当时， ，

即在上恒成立，

在上单调递增，

因为，故当时， 即恒成立；

⑶令，

则.

， ，

①当时，因为，

所以在上单调递增，故，

因为当时， ，

所以在上单调递增，故.

从而，当时， 恒成立.

②当时，由⑵可得，

所以在上单调递增，故.

从而，当时， 恒成立.

③当时， 在上单调递增，

所以当时， 在内取得最小值.

故必存在实数，使得在上，即在上单调递减，

所以当时， ，所以在上单调递减，

此时存在，使得，不符合题设要求.

综上①②③所述，得的取值范围是.

说明：③也可以按以下方式解答：

当时， 在上单调递增，

所以当时， 在内取得最小值，

当时， ，所以，

故存在，使得，且当时， ，

下同前述③的解答.