Question

【题目】设函数， 为曲线在点处的切线．

（Ⅰ）求的方程．

（Ⅱ）当时，证明：除切点之外，曲线在直线的下方．

（Ⅲ）设， ， ，且满足，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导,再求的值,根据导数的几何意义可知切线的斜率即为.由点斜式可得直线方程.（Ⅱ）即证明， 恒成立.变形可得即证恒成立即可.令求导,讨论导数的正负,根据导数的正负可得函数的单调性.根据单调性可求其最值,其最大值小于0即可.（Ⅲ）当且时由（Ⅱ）可知.当中至少有一个大于等于时,可用配方法求各自值域再相加.

试题解析：解：（Ⅰ） .

所以.

所以 L的方程为，即． 3分

（Ⅱ）要证除切点之外，曲线C在直线L的下方，只需证明， 恒成立.

因为，

所以只需证明， 恒成立即可． 5分

设

则.

令，解得， . 6分

当在上变化时， 的变化情况如下表

所以， 恒成立. 8分

（Ⅲ）（ⅰ）当且时，

由（Ⅱ）可知： ，

， .

三式相加，得.

因为，

所以，且当时取等号． 11分

（ⅱ）当中至少有一个大于等于时，

不妨设，则，

因为， ，

所以．

综上所述，当时取到最大值. 14分