Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=5，a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）令b_n=Sn-3ⁿ，求证：{b_n}是等比数列；
（2）令c_n=

1

log2bn+1•log2bn+2

，设T_n是数列{c_n}的前n项和，求满足不等式T_n＞

2011

4026

的n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出S_n+1-S_n=Sn+3n，从而得到

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=2，由此能证明{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知bn =2n，c_n=

1

log2bn+1•log2bn+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂项求和法得到

n

2(n+2)

＞

2011

4026

，从而能培育出满足不等式T_n＞

2011

4026

的n的最小值．

解答： （1）证明：∵a₁=5，a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=Sn+3n，
∴Sn+1=2Sn+3n，
∴Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2（S_n-3ⁿ），
∴

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=2，
∵S₁-3=5-3=2，bn=Sn-3n，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知bn =2n，
∴c_n=

1

log2bn+1•log2bn+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
∵T_n＞

2011

4026

，∴

n

2(n+2)

＞

2011

4026

，
∵n∈N* ，∴2023n＞2011n+4022，解得n＞2011，
∴满足不等式T_n＞

2011

4026

的n的最小值为2022．

点评：本题考查等比数列的证明，考查满足不等式有自然数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．