Question

（1）已知x＞-1，n∈N^*，求证：（1+x）ⁿ≥1+nx
（2）已知m＞0，n∈N^*，e^x≥m+nx对于x∈R恒成立，求m与n满足的条件，并求当n=1时m的值．
（3）已知x≤n，n∈N^*．求证：n-n（1-

x

n

）ⁿ•e^x≤x²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）设f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），对函数f（x）求导，得出最小值为f（0）=0；
（2）设M（x₀，y₀），得出切线方程，由m≤n（1-lnn），m＞0，得出n=1时，m是（0，1]上的任意一个值．
（3）由n-n(1-

x

n

)n•ex≤x2n-x2≤n(1-

x

n

)2•ex当x∈(-∞，-

n

]∪[

n

，n]时，n-x²≤0，n(1-

x

n

)n•ex≥0不等式成立，从而问题解决．

解答： 解  （1）设f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），
则f′（x）=n（1+x）^n-1-n，
∴f（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）上递增，
故最小值为f（0）=0得证．
（2）设M（x₀，y₀），
在M处的切线方程：y=ex0x-x0ex0+ex0
则有：n=ex0且m=-x0ex0+ex0
∴m≤n（1-lnn），m＞0，n∈N^*
故n=1时，m是（0，1]上的任意一个值．
（3）n-n(1-

x

n

)n•ex≤x2n-x2≤n(1-

x

n

)2•ex
当x∈(-∞，-

n

]∪[

n

，n]时，
n-x²≤0，n(1-

x

n

)n•ex≥0不等式成立．
当x∈(0，

n

)时 
 n[(1-

x

n

)•e

x

n

]n≥n[(1-

x

n

)(1+

x

n

)]nn[(1-

x

n

)•e

x

n

]n≥n(1-

x2

n2

)n≥n(1-

x2

n

)≥n-x2．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．