Question

11．已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．|x-a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=（e-1）x-1，求实数a及b的值；
（2）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义列方程组计算a，b；
（2）对a进行讨论，判断g′（x）=0在[0，1]上是否有解，得出g（x）的单调性，再得出g（x）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax-b，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=（e-1）x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=e-2}\\{f′（1）=e-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{e-a-b-1=e-2}\\{e-2a-b=e-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，g′（x）=e^x-2a，
①当2a≤0即a≤0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g_min（x）=g（0）=1-b；
②当2a＞0即a＞0时，令g′（x）=0得x=ln2a．
（i）若ln2a≤0，即0$＜a≤\frac{1}{2}$时，则当x∈[0，1]时，e^x≥1≥2a，
∴g′（x）≥0在（0，1）上恒成立，
∴g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g_min（x）=g（0）=1-b；
（ii）若ln2a≥1，即a≥$\frac{e}{2}$时，则当x∈[0，1]时，2a≥e≥e^x，
∴g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，
∴g（x）在[0，1]上单调递减，
∴g_min（x）=g（1）=1-2a-b；
（iii）若0＜ln2a＜1，即$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，
当0＜x＜ln2a时，g′（x）＜0，当ln2a＜x＜1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，1）上单调递增，
∴g_min（x）=g（ln2a）=2a-2aln2a-b．
综上，当a≤$\frac{1}{2}$时，g_min（x）=1-b；
当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，g_min（x）=2a-2aln2a-b；
当a≥$\frac{e}{2}$时，g_min（x）=1-2a-b．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数单调性与导数的关系，函数最值计算，分类讨论思想，属于中档题．