Question

3．2016年9月20日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国-亚欧博览会，其展览规模为历届之最．按照日程安排，22日至25日为公众开放日．某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以50元购进农产品若干件，以80元一件销售；若供大于求，剩余农产品当天以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从其他地方以60元一件调剂．
（1）若农产品经销商一天购进农产品5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N^*）的函数解析式；
（2）农产品经销商记录了30天农产品的日需求量n（单位：件）整理得表：

日需求量	3	4	5	6	7
频数	2	3	15	6	4

若农产品经销商一天购进5件农产品，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）当1≤n≤5时，y=30n+（5-n）×（-10），当n＞5时，y=30×5+（n-5）×20．化简整理即可得出．
（2）由已知可得：日需求量为3，频数为2天，利润为70．日需求量为4，频数为3天，利润为110．日需求量为5，频数为15天，利润为150．日需求量为6，频数为6天，利润为170．日需求量为7，频数为4天，利润为190．
∴X的取值为70，110，150，170，190．即可得出分布列与数学期望．

解答 解：（1）当1≤n≤5时，y=30n+（5-n）×（-10）=40n-50．
当n＞5时，y=30×5+（n-5）×20=50+20n．
∴函数解析式为y=$\left\{\begin{array}{l}{40n-50，（1≤n≤5）}\\{20n+5，（n＞5）}\end{array}\right.$．
（2）由已知可得：日需求量为3，频数为2天，利润为70．
日需求量为4，频数为3天，利润为110．
日需求量为5，频数为15天，利润为150．
日需求量为6，频数为6天，利润为170．
日需求量为7，频数为4天，利润为190．
∴X的取值为70，110，150，170，190．P（X=70）=$\frac{1}{15}$，P（X=110）=$\frac{1}{10}$，P（X=150）=$\frac{1}{2}$，P（X=170）=$\frac{1}{5}$，P（X=190）=$\frac{2}{15}$．
可得X的分布列：

X	70	110	150	170	190
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$

∴EX=70×$\frac{1}{15}$+110×$\frac{1}{10}$+150×$\frac{1}{2}$+170×$\frac{1}{5}$+190×$\frac{2}{15}$=150．

点评 本题考查了分段函数、频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．