Question

13．若正实数x，y满足（2xy-1）²=（5y+2）（y-2），则x+$\frac{1}{2y}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．

Answer 1

分析 由（2xy-1）²=（5y+2）（y-2），可得9y²=（2y+2）²+（2xy-1）²，即9=$（2+\frac{2}{y}）^{2}+（2x-\frac{1}{y}）^{2}$≥$\frac{（2x-\frac{1}{y}+2+\frac{2}{y}）^{2}}{2}$，由此，即可求出x+$\frac{1}{2y}$的最大值．

解答 解：方法一、（2xy-1）²=（5y+2）（y-2）=9y²-（2y+2）²，
∴9y²=（2y+2）²+（2xy-1）²，
∴9=$（2+\frac{2}{y}）^{2}+（2x-\frac{1}{y}）^{2}$≥$\frac{（2x-\frac{1}{y}+2+\frac{2}{y}）^{2}}{2}$，
∴（$2x+\frac{1}{y}$+2）²≤18，
∴$2x+\frac{1}{y}$+2≤3$\sqrt{2}$，
∴$2x+\frac{1}{y}$≤3$\sqrt{2}$-2，
∴x+$\frac{1}{2y}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．
∴x+$\frac{1}{2y}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．
方法二、令x+$\frac{1}{2y}$=t，可得2xy=2ty-1，
即有（2ty-2）²=（5y+2）（y-2），
即为y²（4t²-5）+y（8-8t）+8=0，
由△≥0，
即（8-8t）²-32（4t²-5）≥0，
-64t²-128t+224≥0
解得-1-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$≤t≤-1+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∵x，y是正实数，∴t=x+$\frac{1}{2y}$＞0；
综上所述：
0＜t＜-1+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
故x+$\frac{1}{2y}$最大值为-1+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．