Question

如图，在圆锥中，已知，⊙O的直径，是的中点，为的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）根据题意，由于平面，则可以根据面面垂直的判定定理来得到。
（2）

试题分析：解法1：（1）连结，因为，是中点，所以
又底面⊙O，底面⊙O，所以，                      2分
因为是平面内的两条相交直线，所以平面           4分
而平面，所以平面平面.                          6分

（2）在平面中，过作于，
由（1）知，平面平面平面=
所以平面，又面，所以
在平面中，过作于，连接，
平面，
从而，故为二面角的平面角                   9分
在
在
在
在
所以                    13分
故二面角的余弦值为                                  14分
解法2：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，则

，
                         2分
（1）设是平面的一个法向量，
则由，得
所以，取得                               4分
设是平面的一个法向量，
则由，得
所以，取，得              6分
因为，所以
从而平面平面                                           8分
（2）因为轴平面，所以平面的一个法向量为
由（1）知，平面的一个法向量为
设向量和的夹角为，则                 13分
所以二面角的余弦值为                                 14分
点评：主要是考查了面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求解，属于基础题。