Question

如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为.、分别是、的中点．现将沿折起，使二面角的平面角为.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）求直线与面所成角的正弦值为.

试题分析：（1）利用折叠前以及、在同一平面内，得到在折叠后，由已知条件，结合直线与平面垂直的判定定理可以证明平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）解法一是利用空间向量法，即以点为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间坐标系，将二面角为进行适当转化，再利用空间向量法求出直线与面所成角的正弦值；解法二是利用到（1）中的结论平面，只需作交于点，于是确定直线与面所成角为，借助点为的中点从而得到为中位线，于是确定点为的中点，连接，在直角三角形中计算出.
试题解析：（1）证明：DEAE，CEAE，，
 AE平面，   3分
 AE平面，平面平面．  5分
（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系  6分
DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，  7分
，，，
A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．  9分
、分别是、的中点，F，G   10分
=，=，  11分
由（1）知是平面的法向量，    12分
设直线与面所成角，则，
故求直线与面所成角的正弦值为．   14分（列式1分，计算1分）
（方法二）作，与相交于，连接  6分
由（1）知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角  7分
是的中点，是的中位线，，  8分
因为DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即= 9分
在中，由余弦定理得，
（或）  11分（列式1分，计算1分）
平面，所以，在中，   13分
所以直线与面所成角的正弦值为  14分