Question

选修4-4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求

1

|AF|

+

1

|BF|

的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，可得ρ²sin²θ=8ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式即可得出．
（2）由直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

，可得l与x轴的交点F（2，0）．把直线l的方程代入抛物线方程可得（tsinα）²=8（2+tcosα），整理得t²sin²α-8tcosα-16=0，由已知sinα≠0，△＞0，可得sinα≠0，cos²α+sinα＞0．得到根与系数的关系．再利用参数的几何意义可得

1

|AF|

+

1

|BF|

=|

1

t1

-

1

t2

|=|

t1-t2

t1t2

|=

(t1+t2)2-4t1t2

|t1t2|

即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，可得ρ²sin²θ=8ρcosθ．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得y²=8x．
（2）由直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

，可得l与x轴的交点F（2，0）．
把直线l的方程代入抛物线方程可得（tsinα）²=8（2+tcosα），整理得t²sin²α-8tcosα-16=0，
由已知sinα≠0，△=（-8sinα）²-4×（-16）sinα＞0，
∴sinα≠0，cos²α+sinα＞0．
∴t1+t2=

8cosα

sin2α

，t1t2=-

16

sin2α

＜0．
故

1

|AF|

+

1

|BF|

=|

1

t1

-

1

t2

|=|

t1-t2

t1t2

|=

(t1+t2)2-4t1t2

|t1t2|

=

( 8cosα sin2α )2+ 64 sin2α

16 sin2α

=

1

2

．

点评：本题考查了直线的参数方程和抛物线的极坐标方程、利用直线的参数的意义解决弦长问题，属于中档题．