Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为x=-2，点P在准线l上，纵坐标为，点Q在y轴上，纵坐标为2t．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用准线l的方程求出P值即可求出抛物线C的方程；
（2）先求出直线PQ的方程并设出对应圆的方程，利用直线PQ恒与定圆M相切，得到关于圆心横坐标和t以及半径的关系式，再利用与t值无关就可求出圆M的方程．
解答：解：（1）设抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），
因为准线l的方程为x=-2，所以，即p=4，
因此抛物线C的方程为y²=8x；（4分）
（2）由题意可知，，Q（0，2t），
则直线PQ方程为：，
即（t²-1）x+2ty-4t²=0，设圆心在x轴上，
且与直线PQ相切的圆M的方程为（x-x）²+y²=r²（r＞0），
则圆心M（x，0）到直线PQ的距离，
即（t²-1）x-4t²=r+rt²①或（t²-1）x-4t²=-r-rt²②由①
可得（x-r-4）t²-x-r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，
则有，解得（舍去）由②可得
（x+r-4）t²-x+r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，
则有，可解得
因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，圆M的方程为（x-2）²+y²=4．（16分）
点评：在求抛物线的标准方程时，因为抛物线的标准方程有四种情况，所以我们在作题时一定要先分析焦点所在位置以及开口方向．