Question

（本小题满分14分）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，

且,为椭圆上异于，的点，和的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆中心，，是椭圆上异于顶点的两个动点，求面积的最大值．

Answer 1

（1） （2）

【解析】

试题分析：第（1）问首先由得到椭圆左、右顶点的坐标，再由和的斜率之积为求出几何量的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论的面积最值．

试题解析：（1）由，得，所以，．

设，则， 解得．

于是椭圆的标准方程为．

（2）①当直线垂直于轴时，设的方程为，

由，得，，

从而，

当时，的面积取得最大值．

②当直线线与轴不垂直时，设的方程为，

由消去，得．

，化简得．

设，，则，，

，

原点到直线的距离，

所以．

当且仅当时，取得最大值．

综合①②知，的面积取得最大值．

考点：椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形面积.