Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AC的中点为D
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）若平面ABC⊥平面ABB₁A₁，AA₁=AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$AC=2，∠A₁AB=60°，求三棱锥D-A₁BC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁交A₁B于E点，连结DE，利用中位线定理证明DE∥B₁C．从而证明结论；
（2）三棱锥D-A₁BC₁的体积等于棱柱的体积减去三个棱锥的体积．

解答 证明：（1）连结AB₁交A₁B于E点，连结DE，
∵四边形AA₁B₁B是平行四边形，∴E是AB₁的中点，
∵D是AC的中点，∴DE是△AB₁C的中位线，∴DE∥B₁C．
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）取AB中点F，连结A₁F．
∵AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，∴△AA₁B是等边三角形，∴A₁F⊥AB，A₁F=$\sqrt{3}$．
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，∴A₁F⊥平面ABC．
∵AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$AC=2，∴BC=AC=$\sqrt{2}$，∠ACB=90°．
∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×BC×AC×A₁F=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱锥{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×CD×BC×A₁F=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．
V${\;}_{棱锥{A}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×BC×{A}_{1}F$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．
V${\;}_{棱锥B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴V${\;}_{棱锥D-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$-V${\;}_{棱锥{C}_{1}-BCD}$-V${\;}_{棱锥{A}_{1}-ABD}$-${\;}_{棱锥B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$．

点评 本题考查了线面平行的判定，几何体的体积计算，作差法是求不规则几何体的常用方法．