题目内容
7．已知小明参加了一种“接龙红包”的游戏，小明在红包里装了12元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间[5，20]，让A猜（所猜金额为整数元，下同），如果A猜中，A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A要将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间[8，17]，让B猜，如果B猜中，A和B可以平分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发给朋友C，同时给出金额所在区间[10，15]，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以平分红包里的金额；如果C未猜中，C要将当前的红包转发给朋友D，同时给出金额所在区间[12，13]，让D猜，如果D猜中，A、B、C、和D可以平分红包里的金额；如果D未猜中，红包里的资金将退回至小明的账户．（1）求A至少获得4元的概率；
（2）记B所获得的金额为ξ元，求ξ的分布列及数学期望．
分析 （1）设事件A表示“A猜中”，事件B表示“B猜中”，事件C表示“C猜中”，事件D表示“D猜中”，则P（A）=$\frac{1}{16}$，P（B）=$\frac{1}{10}$，P（C）=$\frac{1}{6}$，P（D）=$\frac{1}{2}$，A至少获得4元情况有3种：A猜中，A没猜中B猜中，A、B都没猜中C猜中，由此能求出A至少获得4元的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，3，4，6，分别求出ξ的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
解答 解：（1）设事件A表示“A猜中”，事件B表示“B猜中”，
事件C表示“C猜中”，事件D表示“D猜中”，
则P（A）=$\frac{1}{16}$，P（B）=$\frac{1}{10}$，P（C）=$\frac{1}{6}$，P（D）=$\frac{1}{2}$，
A至少获得4元情况有3种：A猜中，A没猜中B猜中，A、B都没猜中C猜中，
∴A至少获得4元的概率：
p=$\frac{1}{16}+\frac{15}{16}×\frac{1}{10}+\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{1}{6}$=$\frac{19}{64}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，3，4，6，
P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$+$\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2}$=$\frac{53}{128}$，
P（ξ=3）=$\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2}$=$\frac{45}{128}$，
P（ξ=4）$\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{1}{6}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=6）=$\frac{15}{16}×\frac{1}{10}$=$\frac{3}{32}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 3 | 4 | 6 |
| P | $\frac{53}{128}$ | $\frac{45}{128}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{3}{32}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
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如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA1=1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．| A． | $\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$） | B． | $\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$） | C． | $\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{{4}^{n}}$） | D． | $\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{{4}^{n+1}}$） |