Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+4n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b₁=3，且b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列项a_n与S_n之间的关系即可得到结论．
（2）利用累加法先求出数列{b_n}的通项公式，然后利用分组求和法即可求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1²+4=5，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，
综上a_n=2n+3，（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-b_n=a_n=2n+3，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=3+5+7+…+（2n+1）=

3+2n+1

2

×n=n（n+2），
由（1）得：

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

，n∈N^*）．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法以及累加法是解决本题的关键．