题目内容
设f(x)=6cos2x-
sin2x
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）求f(
)的值；
（3）求f（x）的单调减区间．
| 3 |
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）求f(
| π |
| 12 |
（3）求f（x）的单调减区间．
分析：（1）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简，可得f（x）=2
cos(2x+
)+3，结合余弦函数的图象与性质加以计算，可得f（x）的最大值及最小正周期；
（2）由（1）求得的f（x）的表达式，代入
的值即可算出f(
)的值；
（3）根据余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调减区间．
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）求得的f（x）的表达式，代入
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（3）根据余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调减区间．
解答：解：（1）∵f(x)=6cos2x-
sin2x，
∴f(x)=6•
-
sin2x=3cos2x-
sin2x+3
=2
(
cos2x-
sin2x)+3=2
cos(2x+
)+3
因此，f（x）的最大值为2
+3，最小正周期T=
=π；
（2）由（1）得f（x）=2
cos(2x+
)+3，
∴f(
)=2
cos
+3=
+3；
（3）设2kπ≤2x+
≤π+2kπ，解得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z）．
∴f（x）的单调减区间为[-
+kπ
+kπ]．
| 3 |
∴f(x)=6•
| 1+cos2x |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
因此，f（x）的最大值为2
| 3 |
| 2π |
| 2 |
（2）由（1）得f（x）=2
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f(
| π |
| 12 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
（3）设2kπ≤2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
∴f（x）的单调减区间为[-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题已知三角函数的表达式，求函数的最值、周期与单调区间．着重考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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