Question

18．数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1．
（1）求a₂，a₄，a₆；
（2）设b_n=a_2n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求S₂₀₁₈．

Answer 1

分析 （1）由已知得{a_n}满足：a₁=1，${a}_{n+1}=2n-1-（-1）^{n}{a}_{n}$，利用递推思想依次求出前6项，由此能求出a₂，a₄，a₆．
（2）推导出a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n为奇数}\\{2（n-1），n为偶数}\end{array}\right.$，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n为奇数}\\{2（n-1），n为偶数}\end{array}\right.$，由此能求出数列{a_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1．
∴${a}_{n+1}=2n-1-（-1）^{n}{a}_{n}$，
∴a₂=2-1+1=2，
a₃=4-1-2=1，
a₄=6-1+1=6，
a₅=8-1-6=1，
a₆=10-1+1=10．
（2）由（1）得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n为奇数}\\{2（n-1），n为偶数}\end{array}\right.$，
∵b_n=a_2n，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=a_2n=2（2n-1）=4n-2．
（3）∵S_n为数列{a_n}的前n项和，
∴S₂₀₁₈=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₈）
=1009×1+2（1+3+5+…+2017）
=1009+2×$\frac{1009（1+2017）}{2}$
=2037171．

点评 本题考查数列的前6项的求法，考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查递推公式、分组求和法、等差数列性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．