Question

16．已知直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x-1）²+（y-2）²=4的圆心，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 求得圆心（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．

解答 解：圆（x-1）²+（y-2）²=4的圆心为（1，2），
由题意可得2a+2b-2=0，即a+b=1，a，b＞0，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取得最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．