Question

11．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=a，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过点E作EF⊥BC点F，求在折起后的图形中∠PEF的正切值．
（2）求BC与平面PDC所成的角．

Answer 1

分析 （1）由已知得PE⊥BD，PE⊥EF，进而求出BD=$\sqrt{2}$a，PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$=BE，EF=$\frac{1}{2}a$，由此能求出在折起后的图形中∠PEF的正切值．
（2）由已知求出△ABD为等腰直角三角形，∠BDC=90°，CD⊥平面PBD，PB⊥平面PDC，从而得到∠BCP是BC与平面PDC所成的角，由此能求出BC与平面PDC所成的角．

解答 解：（1）∵AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变，∴PE⊥BD．
又平面PBD⊥平面BCD，∴PE⊥平面BCD，∴PE⊥EF．
∵AD=AB=a，∠BCD=45°，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{2}$a，∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$=BE．
在Rt△BEF中，EF=BE•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}a$．
在Rt△PEF中，tan∠PFE=$\frac{PE}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=$\sqrt{2}$．
∴在折起后的图形中∠PEF的正切值为$\sqrt{2}$．
（2）折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD为等腰直角三角形．
又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．
折叠后，∵平面BCD⊥平面PBD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面PBD．
又∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB．
又PB⊥PD，PD∩CD=D，
∴PB⊥平面PDC，∴∠BCP是BC与平面PDC所成的角，
∵BP=BA=a，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}+2{a}^{2}}$=2a，
∴tan$∠BCP=\frac{BP}{BC}$=$\frac{a}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BCP=arctan$\frac{1}{2}$，∴BC与平面PDC所成的角为arctan$\frac{1}{2}$．

点评 本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了线面垂直的性质与判定，综合性强，关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化