Question

【题目】已知函数f（x）= （b∈R）．若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（﹣∞， ）
C.（﹣∞，3）
D.（﹣∞， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）=f（x）= ，x＞0， ∴f′（x）= ，
∴f（x）+xf′（x）= + = ，
∵存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x﹣b）＞0
∴b＜x+ ，
设g（x）=x+ ，
∴b＜g（x）max ，
∴g′（x）=1﹣ = ，
当g′（x）=0时，解的x= ，
当g′（x）＞0时，即 ＜x≤2时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即 ≤x＜2时，函数单调递减，
∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+ =
∴b＜ ，
故选：B．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本求导法则的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．