题目内容
【题目】已知直线:
和圆
:
.
(1)求证:直线恒过一定点
;
(2)试求当为何值时,直线
被圆
所截得的弦长最短;
(3)在(2)的前提下,直线是过点
,且与直线
平行的直线,求圆心在直线
上,且与圆
相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.
【答案】(1); (2)
;(3)
.
【解析】
(1)通过直线l转化为直线系,求出直线恒过的定点;
(2)当直线与
垂直时,所截得的弦长最短,此时有
=-1,由此能出m的值;
(3)由(2)得直线的方程为
,可判断出直线
与圆
相离,设动圆圆心为
,当圆心
到圆心
的距离最小时,动圆
的半径最小,从而得到最小圆的标准方程.
(1)证明:直线的方程可化为:
.
解方程组,得
.
所以,直线恒过定点
.
(2)解:圆:
的标准方程为
,
表示以为圆心,
为半径的圆,
,
,
∴在圆
内,那么对任意
都有直线
与圆
相交.
当直线与
垂直时,所截弦长最短.
又直线的斜率
,∴此时直线
的斜率为
.
即,解得
.
(3)解:由(2)得直线的斜率为
,又∵
,
∴直线的方程为
,即
.
又圆心到直线
的距离
,所以直线
与圆
相离.
设动圆圆心为,当圆心
到圆心
的距离最小时,动圆
的半径最小,
此时圆心为过点
且与
垂直的直线与
的交点,且动圆半径的最小值为
.
又过点与
垂直的直线方程为
,即
.
解方程组,得
.
即圆心为
.
∴所求圆的标准方程为.
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