Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，给出下列结论：
①f（x）的单调递增区间是（0，2）；
②函数y=f（x）的图象与直线y=k（k∈R）至少有一个公共点；
③函数y=f（x）的图象与y=x³-2x²+x的图象有三个公共点，
其中正确的序号是①③．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，判断①，根据函数的图象判断②③．

解答 解：f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故①正确；
显然f（x）＞0，k＜0时，显然不成立，
故②错误；
y=x³-2x²+x=x（x-1）²，
y′=（3x-1）（x-1），
函数在（-∞，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，+∞）递增，
画出函数f（x）和y=x³-2x²+xd的图象，如图示：
，
图象有3个交点，
故③正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．