Question

19．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SD⊥面ABCD，点E，F分别为AB，SC的中点．
（1）求证：EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DA，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取SD的中点G，连结GF，GA，推导出AEFG是平行四边形，从而EF∥AG，由此能证明EF∥平面SAD．
（2）取AG，EF的中点分别为M，N，连结DM，MN，DN，推导出DM⊥AG，SD⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥平面SAD，推导出∠MND是二面角A-EF-D的平面角，由此能出二面角A-EF-D的余弦值．

解答 证明：（1）如图，取SD的中点G，连结GF，GA，
∵G，F分别是SD、SC的中点，∴GF∥DC，且GF=$\frac{1}{2}DC$
又底面ABCD为正方形，且E是AB的中点，
∴AE∥DC，且AE=$\frac{1}{2}DC$，
∴AE∥GF，且AE=GF，∴AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，
又EF?平面SAD，AG?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
解：（2）取AG，EF的中点分别为M，N，连结DM，MN，DN，
∵SD=2DA=2DG，又M是AG的中点，∴DM⊥AG，
又∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，
由底面ABCD是正方形，得AB⊥AD，
∵SD∩AD=D，∴AB⊥平面SAD，
又M，N分别为AG、EF的中点，∴MN∥AB，∴MN⊥平面SD，
又AG?平面SAD，∴MN⊥AG，
∵DM∩MN=M，∴AG⊥平面MND，
又由（1）知EF∥AG，故EF⊥平面MND，
∴∠MND是二面角A-EF-D的平面角，
设DA=2，由SD=2DA=2DG，得DG=2，DM=$\sqrt{2}$，MN=$\frac{1}{2}AB=1$，
又MN⊥平面SAD，DM?平面SAD，得MN⊥DM，∴DN=$\sqrt{3}$，
∴cos$∠MND=\frac{MN}{DN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-EF-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．