Question

7．函数y=x-$\sqrt{2-x}$的值域是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 利用换元法求函数的值域．令$\sqrt{2-x}$=t，则x=2-t²，带入化简利用二次函数的性质求解值域即可．

解答 解：由题意：函数y=x-$\sqrt{2-x}$，定义域为{x|x≤2}．
令$\sqrt{2-x}$=t，则x=2-t²，
∵$\sqrt{2-x}≥0$，
∴t≥0
那么：函数y=2-t²-t，（t≥0），
对称轴t=-$\frac{1}{2}$，开口向下，
∴t∈[0，+∞）是单调减区间．
当t=0时，函数y取得最大值为-2，
所以函数y的值域为（-∞，-2]
故答案为（-∞，-2]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．