Question

16．函数f（x）=ax²+bx+c，已知方程f（x）=x无实数解．
求证：f（f（x））=x也没有实数解．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质和一元二次方程无实数根与判别式的关系即可得出

解答 证明：当a=0时，f（x）=bx+c，若方程f（x）=x无实数解，则b=1且c≠0，此时f（x）=x+c
此时f（f（x））=（x+c）+c=x+2c=-x，
则0x=-2c，此时无实数解，
当a≠0
∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
方程f（x）=x 即f（x）-x=ax²+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，
∴△＜0．
若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，
∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，
即：f（x）＞x对任意实数x恒成立． 
∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））=x无实根

点评 本题考查了二次函数的性质和一元二次方程无实数根与判别式的关系，属于难题．