Question

19．若函数f（x）=x²-x+c，满足|x-a|＜1．
（Ⅰ）若x∈（-1，1），不等式|x-a|＜1恒成立，求实数a的取值范围构成的集合；
（Ⅱ）求证：|f（x）-f（a）|＜2|a|+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先解绝对值不等式，再根据集合之间的关系即可求出a的范围
（Ⅱ）化简|f（x）-f（a）|为|x-a||x+a-1|，小于|x+a-1|即|（x-a）+（2a-1）|．再由|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1，从而证得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-a|＜1，
∴a-1＜x＜a+1，
∵x∈（-1，1），不等式|x-a|＜1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$，
解得a=0，
∴实数a的取值范围构成的集合{0}
（Ⅱ）证明：∵函数f（x）=x²-x+c，实数a满足|x-a|＜1，
∴|f（x）-f（a）|=|x²-x+c-（a²-a+c）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|
=|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1=2（|a|+1），
即|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的性质的应用以及不等式恒成立的问题，属于中档题．