Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}+a$过点（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求a的值；
（2）求证：函数f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 （1）将点（1，$\frac{3}{2}$）带入函数解析式便可得到a═$\frac{1}{2}$；
（2）先求函数f（x）的定义域，写出函数f（x）并通分得到$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$，求f（-x）=-f（x），便可证出f（x）为奇函数．

解答 解：（1）点（1，$\frac{3}{2}$）的坐标带入f（x）可得：$\frac{3}{2}=\frac{1}{2-1}+a$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
（2）证明：2^x-1≠0，∴x≠0；
∴该函数的定义域为{x|x≠0}；
f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}=\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$；
∴$f（-x）=\frac{{2}^{-x}+1}{2（{2}^{-x}-1）}=\frac{{2}^{x}+1}{2（1-{2}^{x}）}=-f（x）$；
∴f（x）是奇函数．

点评 考查函数图象上的点和函数解析式的关系，奇函数的定义，证明一个函数为奇函数的方法：只需求f（-x）=-f（x），指数的运算．