Question

【题目】已知函数.

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求，令，求出极值点，极值和区间端点的函数值，即求最大值；

（2）设出切点，写出切线方程，把点的坐标代入切线方程，得.设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.求，判断的单调性，即可求解.

（1）由得.

令，得或.

因为，

所以在区间上的最大值为.

（2）设过点的直线与曲线相切于点，

则，且切线斜率为，

所以切线方程为，

因此，

整理得.

设，

则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.

.

当变化时，与的变化情况如下：

		0		1
	+	0	-	0	+

所以，是的极大值，

是的极小值.

当，即时，

在区间和上分别至多有1个零点，

以至多有2个零点.

当，即时，

在区间和上分别至多有1个零点，

所以至多有2个零点.

当且，即时，

因为，

所以分别在区间和上恰有1个零点.

由于在区间和上单调，

所以分别在区间和上恰有1个零点.

综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是.