Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明函数是增函数；

（2）是否存在实数，使得只有唯一的正数，当时恒有：，若这样的实数存在，试求、的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在实数，只有唯一值满足题意.

【解析】

（1）求出函数的导数，构造函数，利用导数证明出，可得出，从而证明出函数是增函数；

（2）取得出，由可得出，构造函数，由得出，然后分和两种情况讨论，结合结合已知条件得出和的值.

（1），.

令，则，

因此，函数为增函数，，

故，因此，函数是增函数；

（2）取，可知.

.

令，，

由于.

①当时，

时，，函数在区间上为减函数，

时，，函数在区间上为增函数，

，

令，因此存在唯一的正数，使得，

故只能.

，，

时，，函数在区间上为减函数，

时，，函数在区间上为增函数，

，此时只有唯一值.

②当时，，则函数为增函数，

，解得，故.

（i）给定时，满足的不唯一；

（ii）时，满足的只能.

但时满足且，因此时，值也不唯一.

综上，存在实数，只有唯一值，当时，恒有：.